Badiou e la matematica

scatola del matematico

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Elogio delle matematiche, di Alain Badiou, 2015

I. Bisogna salvare la matematica

Per infrangere l’aura aristocratica della matematica bisognerebbe trovare un punto di raccordo tra l’intelligenza del formalismo e la propensione concettuale; io ritengo che per ottenerlo sia necessario ricorrere alla filosofia. (14)

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Purtroppo la maggioranza dei filosofi dotati di un minimo di formazione matematica (spesso circoscritta semplicemente alla logica formale), s’interessa alla filosofia analitica anglosassone e, in particolare, al cognitivismo, suo satellite scientifico.

Questa filosofia concentra la sua attività nella distinzione linguistica tra enunciati dotati di senso, razionali, e enunciati che, a suo dire, ne sono sprovvisti, ossia la quasi totalità delle affermazioni da Platone in avanti, etichettate come “metafisiche” e, dunque, prive di interesse. Il cognitivismo tenta, invece, di ricondurre tutte le questioni che si riferiscono al pensiero, o al comportamento, allo studio sperimentale dei processi cerebrali. Per quanto alcuni degli esiti di entrambi questi orientamenti possano essere interessanti, non credo, però, di scorgervi la filosofia. Sono studi accademici, provi di interesse esistenziale, politico o estetico: in altri termini, sono inutilizzabili dalla filosofia, se essa è concepita come chiarificazione della vita reale. (15)

II. Filosofia e matematica o la storia di una vecchia coppia

Badiou sottolinea che Parmenide introduce il principio del terzo escluso per provare che il “non-essere” è falso: la conclusione contraddice l’enunciato “l’essere è”. 

Tale circumnavigazione controllata, regolata, tra il vero e il falso è, a mio avviso, una caratteristica intrinseca della matematica nascente, la quale introduce una spaccatura netta tra  quest’ultima e le verità rivelate, o basate solo sulla forza poetica… Egli ragiona per assurdo e la conseguenza è evidente: la filosofia razionale e la matematica nascono congiuntamente. (21)

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Cartesio: ciò che nella sua filosofia fece proprio della matematica, è l’idea della dimostrazione: secondo lui, il testo filosofico deve assumere la forma di una lunga catena di ragionamenti, tipico del procedere matematico. Si può anche aggiungere che Cartesio fa uso del ragionamento per assurdo. Infatti per provare l’esistenza del mondo esterno, non procede per via diretta, ma escogita la finzione di un dubbio “assoluto”, di un dubbio “iperbolico” che ipotizzi la negazione di qualsiasi verità ed esperienza…

È il noto Cogito, che asserisce un “punto” di verità (il “io sono”) per mezzo della negazione della negazione assoluta: il dubbio. (22)

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Spinoza attribuisce alla matematica il ruolo cruciale di aver bandito dalla filosofia i concetti di causa ultima e finalità, ancora così centrali nella tradizione aristotelica, e di attenersi solo al ragionamento deduttivo. Come già Platone, Spinoza distingue tre generi di conoscenza: il primo consiste in una commistione di rappresentazioni sensibili e immaginarie, ed è tipico dell’ordinaria ignoranza. Il secondo è la conoscenza concettuale ordinata sistematicamente , dimostrata passo per passo, e il suo paradigma è la matematica. Il terzo genere  è la frequentazione intuitiva di Dio, nome della Natura o del Tutto, ed è la conoscenza strettamente filosofica. Ma Spinoza precisa che,senza l’accesso al secondo genere, non vi è modo di giungere al terzo.(22-23)

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E Kant aggiunge, inoltre, un particolare che mi ha sempre colpito, ossia che l’invenzione della matematica è dovuta al “genio di un solo uomo”: Talete. Infatti, gli preme dimostrare che l’apparizione del pensiero matematico non deriva da una necessità storica, bensì da una contingenza creativa. In altri termini, la matematica… fu creata per caso, un bel giorno, dal genio di un solo uomo, come fosse un’estetica contingente. Ma tale contingenza ha poi posto la possibilità dell’indagine critica, che definisce la ricerca filosofica stessa. (23)

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In Kant, la concezione della matematica è di tipo “aprioristico”, il che significa che l’organizzazione di questo genere di pensiero non deriva dall’esperienza concreta, ma la precede… In sostanza, Kant sostiene che ciò che è in gioco nelle scienze formali è l’organizzazione soggettiva della conoscenza umana, di colui che si chiama Soggetto trascendentale. Per Kant, se la razionalità  è universale, non lo è perché si relazione al reale, ma perché rinvia a una struttura universale della soggettività cognitiva stessa.  (24)

III. Cosa ci dice la matematica

Il vero nodo filosofico è scoprire quale sia la natura del pensiero matematico in senso generale a prescindere dal campo di applicazione…Continuo a pensare che due soli siano gli orientamenti principali. Il primo propende verso la vocazione ontologica o “realista” della matematica, e i matematici stessi, spesso, la chiamano “platonica”. In questa prospettiva, la matematica  è una parte del pensiero di ciò che c’è, di ciò che è… Il secondo orientamento, che chiamerei formalista, in base al quale la matematica è un semplice gioco linguistico. (34-35)

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Il cuore della logica classica si basa sulla negazione. È retta da due principi: il principio di non contraddizione e il principio del terzo escluso.

Dagli inizi dello scorso secolo, la logica intuizionista ha rifiutato la logica del terzo escluso e ha costruito sistemi formali coerenti che ne fanno a meno (per esempio in politica)

logica paraconsistente: In questa logica è il principio di non contraddizione a non possedere un valore generale, mentre il principio del terzo escluso può rimanere valido. (per esempio opera d’arte) (40)

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Il contesto logico è diventato, anch’esso, variabile, non imponendo più al pensiero, anche a quello matematico, leggi immutabili.

La filosofia, d’altronde, lo sa da molto tempo: nel sistema hegeliano, la negazione della negazione non è affatto identica all’affermazione iniziale. La sua logica è, dunque, non classica. Nel mio sistema filosofico, la logica dell’essere puro, dell’essere in quanto essere, è classica, la logica dell’apparire è intuizionista, e la logica dell’evento e delle verità che ne dipendono, dal punto di vista del Soggetto, è paraconsistente.(41)

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La mia conclusione, strettamente filosofica, è che, in realtà, la matematica è, molto semplicemente, la scienza dell’essere in quanto essere, vale a dire, ciò che i filosofi chiamano, classicamente, ontologia. La matematica è la scienza dell’insieme di ciò che è, considerato ad un livello assolutamente formale… Se si vuole sapere, riguardo all’esistente, ciò che significa pensarne unicamente l’essere, il solo mezzo per farlo è pensare a delle strutture meramente formali, ossia indeterminate nelle loro caratteristiche materiali. E la scienza di tali strutture indeterminate è la matematica. (Esempi: numeri immaginari per elettromagnetismo; e le coniche di Apollonio di Pergamo per le traiettorie ellittiche di Keplero. (43-44)

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Non sto sostenendo che la matematica ha bisogno che le forme strutturali che studiano siano, un giorno, confermate dall’esperienza. La mia idea è questa: la matematica è l’ontologia, vale a dire lo studio autonomo delle forme possibilidel multiplo in quanto tale, di ogni multiplo, e dunque di tutto ciò che è – poiché tutto ciò che è, è una molteplicità.(44)

IV. Una proposta di metafisica fondata sulla matematica

La mia strategia filosofica è di stabilire ciò che chiamo l’immanenza delle verità. Chiamo le verità (sempre al plurale , non essendovi “la” verità) creazioni singolari con valore universale…

In breve: le teorie scientifiche sono verità concerneti l’essere medesimo (la matematica), o le leggi “naturali” dei mondi, di cui si può avere una conoscenza sperimentale (fisica o biologica). Le verità politiche riguardano la costruzione della società… nel quadro di principi universali come la libertà e l’uguaglianza. Le verità artistiche si riferiscono alla consistenza formale di opere finite, che sublimano ogni cosa passibile di percezione… Infine le verità d’amore si basano sulla forza dialdettica originata dal fatto di sperimentare il mondo non partendo dall’Uno, dalla singolarità individuale, bensì a partire dal Due, dunque da un’accettazione radicale dell’altro.

Legittimare il fatto che una verità possa essere: – assoluta pur essendo una costruzione localizzata; – eterna, pur essendo l’esito di un processo iniziato in un mondo determinato.(47-48)

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Io sono convinto che esistano verità assolute; alcune di loro sono, in origine, ancorate  ad un ambito specifico, ma sono comunque costruite in modo tale che la loro validità diventi universale…Per provarlo devo dimostrare che, nel quadro della mia ontologia del multiplo può costituirsi una nuova dialettica del finito e dell’infinito e, pertanto, una relazione completamente nuova tra la nostra esistenza ordinaria e la nostra esistenza in rapporto a una verità assoluta. (48)

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Con ontologia assoluta, intendo l’esistenza di un universo di riferimento, un luogo per il pensiero dell’essere in quanto essere, dotato di quattro caratteristiche:

  1. È immobile
  2. È componibile a partire dal niente. È integralmente intellegibile nel suo essere a partire dal niente. È non atomico.
  3. Disposizione puramente assiomatica. Non è descrivibile o pensabile, se non a partire dagli assiomi, o principi dai quali discende. È radicalmente non empirico. Esiste per il pensiero, pur non essendo.
  4. Principio di massimalità: qualsiasi entità intellettiva la cui esistenza può essere dedotta, senza contraddizione, dagli assiomi che la prevedono, esiste di per ciò stesso. (49-50)

Inesistenza dell’Uno. Non può esistere un insieme di tutti gli insiemi. (52)

L’essere è molteplicità. La teoria razionale delle differenti forme possibili del multiplo è la teoria degli insiemi. Anche una verità, alla stregua di tutto ciò che esiste, è un multiplo. Come può un multiplo possedere, veicolare, un valore universale?… Esistono delle molteplicità generiche, definite dal matematico Paul Cohen…

l’essere di una verità, ciò che le conferisce una forma universale, è essere un insieme generico. (53-54)

V. La matematica ci fa felici?

Dimostrazione del teorema di Cantor, filosoficamente appassionante, che dice, in sostanza, che ci sono sempre più parti in un insieme dato, di quanti siano i suoi elementi. (56)

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Il fatto che vi siano più parti che elementi in un insieme qualunque significa che la ricchezza, la profonda risorsa, di ciò che è collettivo (le parti) prevale su quella dei singoli individui. Il teorema di Cantor confuta, a livello astratto, il regno dell’individualismo contemporaneo. (58)

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La gioia dello sportivo è narcisistica: è riuscito, lui, come ego, in qualcosa. Mentre quella che si prova in matematica è immediatamente universale: si è coscienti che tale esperienza di felicità  è accessibile, ripercorrendo il cammino sino alla scoperta, a qualsiasi altra persona. La felicità, in matematica più che altrove, è il difficile godimento dell’universale.

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L’autentica radice della felicità è l’impegno soggettivo in una procedura di verità:… (impegno politico, opera d’arte, sofisticato teorema, estasi amorosa)

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La filosofia plasma un concetto di “Verità” appropriato alle verità nuove del suo tempo, indicando così le possibili vie del divenire-soggetto, vie ostacolate dalle opinioni dominanti, le quali organizzano la supremazia dei piaceri individuali e/o il culto del conformismo e dell’obbedienza. La filosofia non è una pratica felice, basata sull’esistenza di certe verità reali; è piuttosto una specie di presentazione della possibilità delle verità. (60)

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l’amore è la matrice esistenziale del pensiero della differenza come tale. È la possibilità di vivere in differenza, di sperimentare il mondo dal punto di vista del Due. Pertanto, l’amore è l’apprendistato esistenziale della dialettica, ossia della fecondità della differenza (63)

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La politica parlamentare, ingannevolmente chiamata “democratica”, è un mondo guidato da interessi poco chiari, sentimentalismi spesso volgari, se non odiosi, da falsi saperi e da una retorica irrazionale. (65) 

Ontologia dei numeri e incommensurabilità, di M. Losito

Platone, Aristotele, limature di ferro e magnetismo (80)

Stimolato dalla domanda su come si possano relazionare l’ontologia matematica, da un lato, e la definizione filosofica di verità, dall’altro, Badiou articola in cinque tappe il seguente innovativo ragionamento: 1. L’essere è molteplice. 2. La teoria degli insiemi è la teoria razionale delle differenti forme possibili del molteplice. 3. La verità, come tutto ciò che esiste, è un molteplice. 4. Come un molteplice può essere universale? 5. Esistono delle molteplicità “generiche” che garantiscono tale universalità. (80)

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“in qualche modo”,” proprio così”, “forcing” (81-82)

Si può dire che mentre un elemento particolare può produrre il caso di soddisfare un primo insieme ma non un secondo insieme, diverso dal primo, un elemento generico offre la possibilità di soddisfare il primo ed il secondo insieme. (82)

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