Che cos’è la matematica

Enrico Bombieri

La matematica: indispensabile strumento per lo sviluppo della società 

Relazione tenuta all’Accademia dei Lincei, 10 giugno 2016 

Possiamo immaginare la nascita della geometria come conseguenza della necessità, in una società tribale e non nomade, di misurare e dividere equamente la terra e di costruire abitazioni, strade, e luoghi adeguati per le cerimonie pubbliche e religiose. Mi piace pensare che il primo teoremaformulato dall’uomo è il fatto che un triangolo con lati 3, 4, e 5, è un triangolo rettangolo, precisamente l’angolo più semplice che appare in una costruzione.”

Il numero ‘e’ diventa il quarto numero fondamentale della matematica, dopo il numero 1, Pi Greco, e l’immaginario i = √−1, legati tra loro da quello che considero la più straordinaria equazione della matematica, cioè la relazione di Eulero e2πi = 1 che lega tra loro l’aritmetica (il numero 1), la geometria (Pi Greco), l’algebra (la radice quadrata di –1), e l’analisi (ilnumero e, ottenuto con un limite).” 

Eulero, che ritengo essere il più grande matematico di tutti i tempi e il vero fondatore della matematica moderna, trova le equazioni che descrivono la meccanica dei fluidi, pone le basi della moderna teoria dei numeri, dell’analisi combinatoria, della teoria delle equazioni differenziali e della geometria differenziale, pone i fondamenti dell’analisi numerica, e compie i primi passi della topologia.”

Cosa è in realtà la matematica? Questa è una domanda che mi sono posto più volte, giungendo alla fine alla conclusione che la matematica è la scienza delle relazioni tra oggetti astratti. Lo strumento essenziale è la verità logica e gli oggetti stessi sono frammenti di verità logica. Così come un quadro non è soltanto un aggregato di particelle colorate, ma infatti acquista un suo significato intrinseco (siamo vicini al concetto di aspetto di Wittgenstein), così l’oggetto matematico diventa una entità con una identità propria.” (p.4)

“Nella matematica, ciò che importa è la relazione e la sua struttura interna: l’oggetto, o gli oggetti messi in relazione, ha importanza solo nella misura in cui si riflette nella relazione. Da qui provengono l’enorme potere di astrazione della matematica e la sua straordinaria capacità di sintesi: oggetti molto diversi ed in apparenza senza caratteristiche in comune possono diventare molto simili se esaminati dal punto di vista matematico. Un esempio di natura pratica si trova nella teoria dei controlli: quello che interessa è il modo di agire del controllo, ed è di minore importanza ciò che viene controllato.

Esiste un altro aspetto della matematica che la distingue dalle altre scienze: la matematica è una scienza che può studiare se stessa. Come nella Biblioteca di Babele di Borges, la matematica, studio delle relazioni tra oggetti, trasforma le relazioni stesse in nuovi oggetti che sono messi in relazioni tra loro, creando così nuovi oggetti, e così all’infinito. La teoria delle categorie si occupa di questo e, ben lungi dall’essere un gioco astratto, ha trovato applicazione in algebra e geometria.

In questo panorama matematico emergono problemi e congetture, come distanti catene montuose che ci chiamano alla scalata delle loro vette per scoprire cosa c’è oltre. Le teorie matematiche, che sono il risultato delle costruzioni del matematico, si possono paragonare ad opere architettoniche, palazzi, torri, strade, ponti, con una interna bellezza paragonabile a quella della musica o delle arti figurative una volta che sia acquisito il linguaggio esoterico della matematica. Nello sviluppo della matematica astratta troviamo un criterio di linearità che spesso ha un fondamento estetico.”(p.5)

“Anche la matematica più astratta, motivata da considerazioni intuitive ed estetiche, ha profondi collegamenti con il mondo reale e spesso ha origine in altre scienze e nella tecnologia.” (p-6)

Teoria dei gruppi di Sophus Lie (p.6)

La matematica descrive il tessuto complesso ma coerente della verità logica e da qui proviene la sua flessibilità per la sua applicazione allo studio del mondo in cui viviamo.” (p.8)

Teoria dei grafi.

è possibile costruire un grafo robusto con molti nodi e pochi lati? La risposta a questa domanda è interessante. Infatti, un grafo con lati scelti a caso, diventa robusto a partire da una certa soglia minima per il numero di lati, ma solo di recente usando profondi metodi della matematica moderna è stato possibile costruire esplicitamente grafi robusti con pochi lati.” (p.8)

La legge di Gauss, che misura la probabilità di deviazione dalla media, si applica dovunque. Ma la legge di Gauss si applica sempre? La risposta è no.” (p.9)

Anche nella matematica astratta la teoria della probabilità è diventata fondamentale, poiché è in grado di garantire l’esistenza di un oggetto matematico con determinate proprietà senza il bisogno di darne una costruzione esplicita, funzionando come quello che in gergo comune è chiamato “una scatola nera”, un oggetto che ha determinate proprietà ma non sappiamo come è fatto dentro e come funziona. Questo ha portato alla soluzione di difficili problemi, di natura non solo teorica. In alcuni casi, la soluzione probabilistica resta la sola soluzione nota: si sa che esiste una soluzione con tutte le proprietà richieste, ma non siamo in grado di descrivere esattamente come è fatta. Questo può apparire sorprendente, ma dal punto di vista logico la difficoltà si può descrivere con il principio dei cassetti: se sappiamo che abbiamo messo tre oggetti in due cassetti, possiamo dedurre che un cassetto deve contenere almeno due oggetti, ma non siamo in grado di dire quale cassetto li contiene.” (p.8-9)

Nel campo della finanza mondiale, la matematica sta svolgendo un ruolo nuovo in particolare nell’automazione del mercato delle transazioni di borsa, nel quale si arriva al punto di migliaia di transazioni in una frazione di un secondo. Qui il rischio è ben descritto dalla legge di Bombieri sulla finanza (Bombieri il banchiere, mio padre): “I profitti sono numeri su un pezzo di carta, le perdite sono in contanti”. Il computer, per conto suo, non è in grado di distinguere tra le due cose e il misurare il vero rischio non è ancora una scienza.” (p.10)

L’Internet e la matematica. “l’Internet è un grafo i cui nodi sono i punti dove l’informazione viene ricevuta e smistata. È l’Internetun grafo robusto? La risposta è ambigua… l’Internet è vulnerabile su grande scala.” (p.10) 

Nel 1890, il matematico Peano fece una scoperta che va contro l’intuizione: una curva continua che riempie tutto il piano. Considerata una volta come una stranezza, una curiosità matematica, la curva di Peano e le sue varianti sono alla base di metodi per costruire una curva, nel senso ordinario, che passa vicino a ogni punto dello spazio. Assegnando ai dati varie proprietà selezionate in ordine di importanza si ottiene una nozione di distanza nello spazio dei dati e la curva esplora rapidamente, nell’ordine di importanza dovuto, un enorme database. Sistemi di ricerca sull’Internet come Google usano idee di questo tipo, così come è per il marketing e anche per l’antiterrorismo.” (p.11)

Parole d’ordine e registrazione crittografia dei dati

In questo campo, i matematici sono avanti ai fisici, avendo dimostrato che un computer (teorico) che segue le leggi della meccanica quantistica renderebbe inefficace un sistema di comunicazione basato sulla fattorizzazione. Al momento, i fisici non sono in grado di costruire un computer quantistico, ma l’ultima parola in proposito non è stata ancora detta.” (p.11-12)

Le accademie di tutto il mondo, che riuniscono in sé le migliori persone di scienze e lettere, ed in particolare la nostra storica Accademia dei Lincei, hanno un ruolo importante nel consigliare il mondo politico sulle conseguenze sociali, positive e negative, del presente frenetico sviluppo del commercio, delle comunicazioni, dell’informazione e delle scienze nella società. In questo, la matematica svolge un importante ruolo anche se spesso non è visibile al grande pubblico. Parafrasando il motto di Pasteur sulla scienza, la matematica non è divisa tra matematica astratta e matematica applicata, esiste solo l’applicazione della matematica che deve essere rivolta al bene di tutti.” (p.12)

 

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